Problema — Mediana uguale a metà del lato implica triangolo rettangolo

Testo

In un triangolo $RST$ la mediana relativa al lato $RS$ ha lunghezza pari alla metà di $RS$ stesso. Detto $M$ il punto medio di $RS$, si ha dunque $TM \cong \dfrac{1}{2}\,RS$. Dimostra che il triangolo è rettangolo, con l’angolo retto nel vertice $T$ opposto al lato $RS$.

Soluzione

Poiché $M$ è il punto medio di $RS$, risulta $RM \cong MS \cong \dfrac{1}{2}\,RS$. Per ipotesi anche la mediana $TM$ è uguale a metà di $RS$, quindi $RM \cong MS \cong TM.$

Il triangolo $RMT$ ha $RM \cong TM$: è isoscele di base $RT$, dunque gli angoli alla base sono congruenti, $\widehat{MRT} \cong \widehat{MTR} = x.$ Analogamente il triangolo $SMT$ ha $MS \cong TM$: è isoscele di base $ST$, quindi $\widehat{MST} \cong \widehat{MTS} = y.$

Gli angoli del triangolo $RST$ sono allora $\widehat{R} = x$, $\widehat{S} = y$ e $\widehat{T} = \widehat{MTR} + \widehat{MTS} = x + y$. Dalla somma degli angoli interni: $x + y + (x + y) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2(x + y) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x + y = 90^\circ.$ Ma $\widehat{T} = x + y$, quindi $\widehat{T} = 90^\circ$: il triangolo è rettangolo con l’angolo retto in $T$, opposto al lato $RS$. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Mediana · Triangolo isoscele · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione