Somma degli angoli interni di un triangolo

Ecco la prima grande applicazione degli angoli alterni interni: la dimostrazione, elegante e brevissima, che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto.

Teorema — Somma degli angoli interni di un triangolo

In ogni triangolo la somma degli angoli interni è $\pi$ (cioè $180^\circ$). $\alpha,\,\beta,\,\gamma \text{ angoli interni di } \triangle ABC \implies \alpha + \beta + \gamma = \pi$

Dimostrazione

Per $C$ si traccia la parallela $DE$ ad $AB$: gli angoli alla base “risalgono” attorno a $C$ formando un angolo piatto.

Success

1. Costruzione. Tracciamo per $C$ la retta $DE$ parallela ad $AB$.
2. Osservo. Poiché $AB \parallel DE$ e $AC$ è trasversale, gli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{ACD}$ sono alterni interni, dunque $\widehat{ACD} \cong \alpha$.
3. Analogamente. Usando $BC$ come trasversale: $\widehat{ECB} \cong \beta$.
4. Deduco. A questo punto, gli angoli $\widehat{ACD}$, $\widehat{ACB} = \gamma$ e $\widehat{ECB}$ sono consecutivi e formano un angolo piatto: $\alpha + \gamma + \beta = \pi.$

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Dimostrazione · Retta · Rette parallele · Somma angoli triangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica