Oscillatore armonico

Osservazione — Applicazione alla fisica: oscillatore armonico

L’equazione $y'' + \omega^2 y = 0$ ha equazione caratteristica $\lambda^2+\omega^2=0$, con radici $\lambda=\pm i\omega$ ($\alpha=0$, $\beta=\omega$). La soluzione è: $y = C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x) = A\cos(\omega x + \varphi),$ cioè un’oscillazione armonica di frequenza $\omega$.

Con smorzamento — $y''+2\gamma y'+\omega^2 y=0$ — le radici hanno parte reale $\alpha=-\gamma<0$: l’oscillazione si smorza esponenzialmente. È il modello della molla con attrito.

Il grafico confronta l’oscillazione non smorzata $\cos(\omega x)$ con quella smorzata $e^{-\gamma x}\cos(\omega x)$, racchiusa tra le due curve d’inviluppo $\pm e^{-\gamma x}$.

Oscillazione armonica non smorzata (blu) e smorzata (rossa): l’ampiezza di quest’ultima decade dentro l’inviluppo $\pm e^{-\gamma x}$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Edo lineare secondo ordine · Equazione caratteristica · Oscillatore armonico · Smorzamento
Funzioni: Coseno
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere equazioni