Semisfera e cilindro via Cavalieri

Testo

Una semisfera e un cilindro hanno entrambi raggio di base $R$ e altezza $R$. Mostrare con Cavalieri che il volume della semisfera vale $2/3$ del volume del cilindro.

Soluzione

Confrontiamo la semisfera con il solido “cilindro meno cono” (cilindro di raggio $R$ e altezza $R$ a cui si toglie un cono di raggio $R$ e altezza $R$, con il vertice in basso). A quota $z\in[0,R]$ dalla base:

• Sezione della semisfera: disco di raggio $\sqrt{R^2-z^2}$, area $\pi(R^2-z^2)$.
• Sezione del cilindro meno cono: corona di raggio esterno $R$ e interno $z$, area $\pi R^2-\pi z^2 = \pi(R^2-z^2)$.

Le aree coincidono a ogni quota, quindi per Cavalieri i due solidi hanno lo stesso volume: $V_{\text{semisfera}} = V_{\text{cil}}-V_{\text{cono}} = \pi R^3 - \tfrac13\pi R^3 = \tfrac{2}{3}\pi R^3.$ Poiché il volume del cilindro è $V_{\text{cil}} = \pi R^2\cdot R = \pi R^3$, otteniamo $\boxed{\dfrac{V_{\text{semisfera}}}{V_{\text{cil}}} = \dfrac{2}{3}.}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Archimede
Tipo di esercizio: Dimostrazione