Integrale improprio con radice

Testo

Dimostrare che $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$ (integrale improprio).

Soluzione

La funzione $\dfrac{1}{\sqrt x}$ ha un asintoto verticale in $x=0$: l’integrale è improprio nell’estremo inferiore. Lo trattiamo come limite: $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl(2 - 2\sqrt{\varepsilon}\bigr) = \boxed{2}.$ Poiché $2\sqrt{\varepsilon}\to 0$, l’integrale converge al valore $2$ (coerente con il criterio: $\int_0^1 x^{-p}dx$ converge per $p<1$, e qui $p=\tfrac12$).

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale improprio · Limite
Competenze: Analisi casi limite · Dimostrare · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale