Integrale improprio esponenziale

Testo

Calcolare $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx$.

Soluzione

È un integrale improprio su intervallo illimitato: lo trattiamo come limite. $\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx = \lim_{t\to+\infty}\int_0^t e^{-2x}\,dx = \lim_{t\to+\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^t = \lim_{t\to+\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-2t}\right) = \boxed{\dfrac{1}{2}}.$ Il termine $e^{-2t}\to 0$, quindi l’integrale converge.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale improprio · Limite
Competenze: Calcolare limiti · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale