Piramidi equivalenti via Cavalieri

Testo

Mostrare, usando il principio di Cavalieri, che due piramidi con basi di pari area e stessa altezza hanno lo stesso volume, anche se le basi hanno forme diverse.

Soluzione

Poniamo le due piramidi con le basi sullo stesso piano e i vertici alla stessa quota $H$. A quota $z$ (misurata dalla punta) la sezione di ciascuna piramide è simile alla propria base con fattore di scala lineare $z/H$, quindi la sua area è $A(z) = B\cdot\left(\frac{z}{H}\right)^2.$ Se le due basi hanno la stessa area $B$ e le piramidi hanno la stessa altezza $H$, allora a ogni quota $z$ le due sezioni hanno la stessa area $A(z)$. Per il principio di Cavalieri (versione 3D), i due solidi hanno lo stesso volume: $\boxed{V_1 = V_2 = \tfrac{1}{3}B H.}$ La forma delle basi è irrilevante: conta solo che le sezioni corrispondenti abbiano ugual area.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione