Studio di x³−4x e rette tangenti in A e B

Testo

Data la funzione $y = x^3 - 4x$:

• (a) determina le intersezioni con l’asse $x$, studia il segno e traccia un grafico approssimativo;
• (b) detti $A$ il punto di ascissa $2$ e $B$ il punto di ascissa $0$, determina le rette tangenti al grafico in tali punti.

Soluzione

(a) Zeri e segno. Raccogliamo: $y = x^3 - 4x = x(x-2)(x+2).$ Gli zeri sono $x = -2,\ 0,\ 2$. Studiando il segno del prodotto dei tre fattori: $y > 0 \ \text{su}\ (-2,0)\cup(2,+\infty), \qquad y < 0 \ \text{su}\ (-\infty,-2)\cup(0,2).$ Il grafico è una cubica crescente ai lati, che attraversa l’asse $x$ nei tre zeri.

(b) Rette tangenti. La derivata è $y' = 3x^2 - 4$.

• In $A(2,\,0)$: $y'(2) = 3\cdot 4 - 4 = 8$, quindi la tangente è $y - 0 = 8(x-2) \ \Rightarrow\ y = 8x - 16.$
• In $B(0,\,0)$: $y'(0) = -4$, quindi la tangente è $y - 0 = -4(x-0) \ \Rightarrow\ y = -4x.$ $A$ e $B$ appartengono al grafico, dunque queste sono proprio le tangenti in quei punti. $\boxed{\text{tangente in } A:\ y = 8x - 16;\qquad \text{tangente in } B:\ y = -4x}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Retta · Retta tangente · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione