Studio di x³+2x²−4x

Testo

Data la funzione $y = x^3 + 2x^2 - 4x$:

• studia il segno e le intersezioni con gli assi;
• determina massimi e minimi relativi;
• trova il flesso e la retta tangente nel flesso.

Soluzione

Zeri e segno. $y = x(x^2 + 2x - 4)$; oltre a $x=0$, $x^2 + 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt 5$, cioè $x \approx 1{,}236$ e $x \approx -3{,}236$. Il segno alterna nei tre zeri (cubica con coefficiente direttore positivo).

Estremi. $f'(x) = 3x^2 + 4x - 4 = (3x - 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -2,\ x = \tfrac23$. In $x=-2$: massimo relativo, $f(-2) = -8 + 8 + 8 = 8$. In $x=\tfrac23$: minimo relativo, $f\!\left(\tfrac23\right) = -\tfrac{40}{27} \approx -1{,}481$.

Flesso e tangente. $f''(x) = 6x + 4 = 0 \Rightarrow$ flesso in $x = -\tfrac23$, con $f\!\left(-\tfrac23\right) = \tfrac{88}{27} \approx 3{,}259$. La pendenza della tangente nel flesso è $f'\!\left(-\tfrac23\right) = -\tfrac{16}{3} \approx -5{,}333$. $\boxed{\text{max } (-2,\,8);\quad \text{min } \left(\tfrac23,\,-\tfrac{40}{27}\right);\quad \text{flesso in } x = -\tfrac23}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Retta · Retta tangente · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione