Livello dell'acqua in un serbatoio conico

Testo

Dell’acqua esce dal fondo di un serbatoio a forma di cono al ritmo di $2\ \text{ft}^3/\text{min}$. L’altezza del cono è il doppio del raggio. Con quale velocità scende il livello dell’acqua quando la profondità è $h=4\text{ ft}$?

Soluzione

Poiché $h=2r$, si ha $r=h/2$ e $V=\tfrac13\pi r^{2}h=\tfrac13\pi\left(\tfrac{h}{2}\right)^{2}h=\dfrac{\pi h^{3}}{12}$. Derivando: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi h^{2}}{4}\dfrac{dh}{dt}$. Con $\dfrac{dV}{dt}=-2$ e $h=4$: $-2=\dfrac{\pi\cdot16}{4}\dfrac{dh}{dt}=4\pi\dfrac{dh}{dt}$, quindi $\dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{1}{2\pi}\approx-0{,}159\text{ ft/min}$. $\boxed{\dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{1}{2\pi}\approx-0{,}159\ \text{ft/min}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Derivata composta
Competenze: Derivare · Modellizzare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata