Pallone sferico che si gonfia

Testo

Un pallone sferico viene gonfiato con aria al ritmo costante di $100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Quando il raggio vale $r=5\text{ cm}$, con quale velocità aumenta il raggio? E la superficie?

Soluzione

Volume: $V=\tfrac43\pi r^{3}$, quindi $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}$. $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{4\pi r^{2}}\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{100}{4\pi\cdot25}=\dfrac{1}{\pi}\approx0{,}318\text{ cm/s}$. Superficie: $S=4\pi r^{2}$, $\dfrac{dS}{dt}=8\pi r\dfrac{dr}{dt}=8\pi\cdot5\cdot\dfrac1\pi=40\text{ cm}^2/\text{s}$. $\boxed{\dfrac{dr}{dt}=\tfrac1\pi\approx0{,}318\ \text{cm/s};\quad \dfrac{dS}{dt}=40\ \text{cm}^2/\text{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Derivata composta
Competenze: Derivare · Modellizzare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata