Pallone sferico: variazione della superficie

Testo

Il volume di un palloncino sferico cresce a $6\ \mathrm{cm^{3}/s}$. Con quale velocità aumenta la sua superficie nell’istante in cui il raggio vale $5$ cm?

Soluzione

Con $V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ e $S=4\pi r^{2}$, derivando rispetto al tempo: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt},\qquad \frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}.$ Dividendo membro a membro si ottiene $\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{2}{r}\dfrac{dV}{dt}$. Con $\dfrac{dV}{dt}=6$ e $r=5$: $\frac{dS}{dt}=\frac{2}{5}\cdot6=\frac{12}{5}=2{,}4\ \mathrm{cm^{2}/s}.$ $\boxed{\dfrac{dS}{dt}=2{,}4\ \mathrm{cm^{2}/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Derivata composta
Competenze: Derivare · Modellizzare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata