Massimo profitto con funzione cubica

Testo

Il profitto di un’impresa è $\pi(q)=-\dfrac{1}{3}q^{3}-5q^{2}+2000q-350$ (in €). Trova la quantità (positiva) che massimizza il profitto e il profitto massimo.

Soluzione

$\pi'(q)=-q^{2}-10q+2000=0\Rightarrow q^{2}+10q-2000=0\Rightarrow (q-40)(q+50)=0$. Si scarta $q=-50$; con $\pi''=-2q-10$ si ha $\pi''(40)=-90<0$: massimo in $q=40$. $\pi(40)=-\frac{1}{3}\cdot 64000-5\cdot 1600+2000\cdot 40-350\approx\boxed{50\,316{,}67\ \text{€}}.$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Ottimizzazione · Profitto · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Modellizzare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione