Distanza minima da un punto a una retta (2)

Testo

Dati il punto $P(4,4)$ e la retta $y=-2x+3$, trova il punto $R$ della retta a distanza minima da $P$, impostando il problema come ricerca di un minimo.

Soluzione

Un generico punto della retta è $R=(x,\,-2x+3)$. La distanza al quadrato da $P$ è $d^2(x)=(x-4)^2+(-2x+3-4)^2=(x-4)^2+(-2x-1)^2.$ Derivando: $\frac{d}{dx}\,d^2=2(x-4)+2(-2x-1)(-2)=2x-8+8x+4=10x-4.$ Annullando: $10x-4=0\Rightarrow x=\dfrac25=0.4$, e $y=-2(0.4)+3=2.2$. Dunque $R=\left(\tfrac25,\tfrac{11}5\right)=(0.4,\,2.2).$ La derivata seconda $20>0$ conferma il minimo. La distanza minima: $d_{min}=\frac{|-2\cdot4-4+3|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{|-8-4+3|}{\sqrt5}=\frac{9}{\sqrt5}\approx 4.025.$ $\boxed{\;R=(0.4,\,2.2),\qquad d_{min}=\dfrac{9}{\sqrt5}\approx 4.025\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Distanza punto retta · Punto stazionario · Retta
Competenze: Derivare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione