Distanza minima da un punto a una retta

Testo

Dati il punto $P(3,-2)$ e la retta $y=2x+1$, trova il punto $R$ della retta a distanza minima da $P$, impostando il problema come ricerca di un minimo.

Soluzione

Un generico punto della retta è $R=(x,\,2x+1)$. La distanza al quadrato da $P$ è $d^2(x)=(x-3)^2+(2x+1-(-2))^2=(x-3)^2+(2x+3)^2.$ Minimizzare $d^2$ equivale a minimizzare $d$. Derivando: $\frac{d}{dx}\,d^2=2(x-3)+2(2x+3)\cdot2=2x-6+8x+12=10x+6.$ Annullando: $10x+6=0\Rightarrow x=-\dfrac35=-0.6$, e $y=2(-0.6)+1=-0.2$. Dunque $R=\left(-\tfrac35,-\tfrac15\right)=(-0.6,\,-0.2).$ La derivata seconda $20>0$ conferma il minimo. La distanza minima: $d_{min}=\frac{|2\cdot3-(-2)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|6+2+1|}{\sqrt5}=\frac{9}{\sqrt5}\approx 4.025.$ $\boxed{\;R=(-0.6,\,-0.2),\qquad d_{min}=\dfrac{9}{\sqrt5}\approx 4.025\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Distanza punto retta · Punto stazionario · Retta
Competenze: Derivare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione