Limite (sin x − x cos x) su x³

Testo

Calcolare $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x - x\cos x}{x^3}$ con Taylor.

Soluzione

Sviluppi: $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^4)$ e $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)$, da cui $x\cos x = x - \dfrac{x^3}{2} + o(x^4)$. Allora $\sin x - x\cos x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr) - \Bigl(x - \frac{x^3}{2}\Bigr) + o(x^3) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3).$ Quindi: $\frac{\sin x - x\cos x}{x^3} = \frac{1}{3} + o(1) \xrightarrow{x\to 0} \boxed{\frac{1}{3}}.$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Limite · Sviluppo notevole
Metodi: Limiti via taylor
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite