Trapezio inscritto in un semicerchio

Quarto problema-tipo: il trapezio isoscele di area massima inscritto in un semicerchio è metà di un esagono regolare. Un trucco utile: massimizzare $A^2$ per evitare la derivata della radice.

Esempio — Trapezio isoscele di area massima inscritto in un semicerchio

Un trapezio isoscele ha base minore variabile sul diametro di un semicerchio di raggio $R$, e base maggiore coincidente col diametro. Trovare l’altezza che massimizza l’area.

Soluzione

Posto $x$ = semibase minore, l’altezza è $y=\sqrt{R^2-x^2}$ (punti sulla circonferenza). Area: $A(x)=\frac{1}{2}(2R+2x)\,y = (R+x)\sqrt{R^2-x^2}, \qquad 0<x<R.$ Per evitare la derivata della radice, lavoro su $A^2$: $A^2 = (R+x)^2(R^2-x^2) = (R+x)^2(R-x)(R+x) = (R+x)^3(R-x).$ Derivo rispetto a $x$: $(A^2)' = 3(R+x)^2(R-x) - (R+x)^3 = (R+x)^2\bigl[3(R-x)-(R+x)\bigr] = (R+x)^2(2R-4x).$ $(A^2)'=0 \iff x=R/2$ (scartando $x=-R$). Allora $y=\sqrt{R^2-R^2/4}=R\sqrt{3}/2$. $A_{\max} = (R+R/2)\cdot R\sqrt{3}/2 = \frac{3R}{2}\cdot\frac{R\sqrt{3}}{2} = \boxed{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}.$ Il trapezio massimo è in realtà metà di un esagono regolare inscritto nel cerchio: una sorpresa geometrica.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare