Cilindro inscritto in un cono

Secondo problema-tipo: trovare, fra tutti i cilindri inscritti in un cono, quello di volume massimo. Il risultato ($4/9$ del volume del cono) è sorprendentemente piccolo.

Esempio — Volume del cilindro inscritto in un cono

Un cono ha raggio di base $R$ e altezza $H$. Trovare il cilindro inscritto (asse coincidente con quello del cono) di volume massimo.

Sezione assiale: il cilindro $(r,h)$ è inscritto nel triangolo che rappresenta il cono $(R,H)$.

Soluzione

Per similitudine, se $r$ è il raggio del cilindro e $h$ la sua altezza: $\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} \iff h = H\bigl(1-r/R\bigr) = H-\frac{H}{R}r.$ Volume: $V(r)=\pi r^2\,h = \pi r^2 H\bigl(1-r/R\bigr) = \pi H\bigl(r^2 - r^3/R\bigr)$, con $0<r<R$. $V'(r) = \pi H\bigl(2r - 3r^2/R\bigr) = \pi H\,r\bigl(2 - 3r/R\bigr) = 0 \iff r=\frac{2R}{3}.$ Allora $h=H(1-2/3)=H/3$. Il cilindro ottimale occupa $2R/3$ in raggio e $H/3$ in altezza. $V_{\max} = \pi (2R/3)^2 (H/3) = \frac{4\pi R^2 H}{27} = \frac{4}{9}\cdot\frac{\pi R^2 H}{3} = \boxed{\frac{4}{9}\,V_{\text{cono}}}.$ Il cilindro massimo occupa $4/9$ del volume del cono che lo contiene: meno della metà, un risultato controintuitivo.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare