Il polinomio di Taylor

Il polinomio di Taylor è il polinomio che meglio approssima $f$ vicino a un punto $x_0$: ha lo stesso valore e le stesse prime derivate di $f$ in quel punto.

Definizione — Polinomio di Taylor di ordine $n$

Sia $f$ derivabile $n$ volte in un intorno di $x_0$. Il polinomio di Taylor di ordine $n$ di $f$ centrato in $x_0$ è: $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$ Quando $x_0 = 0$ si chiama polinomio di Maclaurin.

Osservazione — Proprietà chiave

$T_n$ è l’unico polinomio di grado $\le n$ tale che $T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)$ per ogni $k = 0,1,\ldots,n$: ha lo stesso valore e le stesse prime $n$ derivate di $f$ nel punto $x_0$. Per $n = 1$ si ritrova la retta tangente; per $n = 2$ la parabola osculatrice.

Le approssimazioni $T_1, T_3, T_5$ di $\sin x$ “abbracciano” la funzione sempre meglio: vicino allo zero $T_5$ è visivamente indistinguibile da $\sin x$, e all’aumentare del grado l’intervallo di buona approssimazione si allarga.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata successiva · Polinomio di maclaurin · Polinomio di taylor
Metodi: Taylor polinomio
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule
Persone: Maclaurin · Brook Taylor