Derivate laterali

Finora abbiamo lavorato con funzioni derivabili. Ma esistono funzioni che, pur essendo continue, in alcuni punti non ammettono derivata: la tangente al grafico non esiste come retta univoca, oppure esiste ma è verticale (quindi non rappresentabile come $y=mx+q$). Sono i punti di non derivabilità. Per studiarli si spezza il limite del rapporto incrementale nei suoi due limiti unilaterali.

Definizione — Derivata destra e sinistra

La derivata destra e la derivata sinistra di $f$ in $x_0$ sono i limiti unilaterali del rapporto incrementale: $f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \qquad f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$ La derivata $f'(x_0)$ esiste finita se e solo se $f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$ ed entrambe sono finite.

Osservazione — " $=$" tra due limiti: lettura precisa

La condizione "$f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$" è un’equazione tra due limiti, non tra due “numeri” che già abbiamo: per scriverla con verità entrambi i limiti devono prima esistere (finiti). Esty osserva che il segno "$=$" tra oggetti definiti come limiti significa due cose: (1) entrambi i membri sono ben definiti (esistono come reali); (2) i valori coincidono. Nei casi cuspide / tangente verticale uno dei due punti fallisce già al passo (1) — ed è per quello che la derivata, in senso classico, non esiste.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata laterale · Limite · Punto non derivabile
Competenze: Calcolare limiti