Le tangenti prima del calcolo

Quando, verso il 1684, Newton e Leibniz diedero forma sistematica al calcolo, il problema di tracciare la tangente a una curva era già stato affrontato con metodi sorprendentemente moderni. Due protagonisti di questa “preistoria” della derivata sono Pierre de Fermat e Isaac Barrow.

L’adequatio di Fermat

Già intorno al 1636 Fermat aveva un metodo per determinare massimi, minimi e tangenti. L’idea, che egli chiamò adaequalitas (parola presa dal greco di Diofanto), consiste nel confrontare il valore della funzione in $x$ e in un punto vicino $x+E$, trattando i due valori come “quasi uguali” e infine ponendo $E=0$.

Per cercare il massimo dell’area $f(x)=bx-x^2$ di un rettangolo di perimetro fissato, Fermat pone l’adequatio $f(x+E)\approx f(x),$ cioè $b(x+E)-(x+E)^2 \approx bx-x^2 .$ Sviluppando e semplificando i termini uguali si ottiene $bE-2xE-E^2\approx 0$; dividendo per $E$, $b-2x-E\approx 0,$ e infine, ponendo $E=0$, si trova $x=\dfrac{b}{2}$. È esattamente il risultato che oggi otteniamo annullando la derivata $f'(x)=b-2x$: il passaggio “dividi per $E$, poi poni $E=0$” è, in forma embrionale, il limite del rapporto incrementale.

Il triangolo differenziale di Barrow

Isaac Barrow, primo titolare della cattedra lucasiana a Cambridge e maestro di Newton, nelle sue Lectiones Geometricae (1670) costruì le tangenti tramite un piccolo “triangolo differenziale” di lati $a$ e $e$: incrementi infinitesimi dell’ordinata e dell’ascissa il cui rapporto $a/e$ fornisce la pendenza della tangente. È la stessa figura del nostro rapporto $\Delta f/\Delta x$, e prepara direttamente il terreno alla derivata come limite.

Questi metodi restavano però legati al singolo problema geometrico: il salto di Newton e Leibniz fu riconoscere che dietro tangenti, velocità e aree si nascondeva un unico algoritmo — il calcolo — con regole generali e una notazione efficiente (Boyer, Katz).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Retta · Retta tangente
Persone: Diofanto di Alessandria · Pierre de Fermat · Isaac Barrow