Definizione di continuità

La continuità di una funzione in un punto si definisce a partire dal concetto di limite: servono tre condizioni simultanee. Una volta chiarita la definizione, si vede subito che le funzioni elementari e le loro combinazioni sono continue nel loro dominio, e che la discontinuità può nascere solo in pochi punti “sospetti”.

• Definizione di continuità
• Le funzioni elementari sono continue

The continuity of a function at a point is defined starting from the concept of the limit: three simultaneous conditions are needed. Once the definition is clear, one sees at once that the elementary functions and their combinations are continuous on their domain, and that discontinuity can arise only at a few “suspect” points.

• Definition of continuity
• Elementary functions are continuous

L’idea intuitiva di funzione “continua” è quella di un grafico che si può tracciare senza mai staccare la penna dal foglio. Per rendere precisa questa idea servono tre condizioni, tutte legate al comportamento della funzione vicino a un punto.

Definizione — Funzione continua in un punto

Una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ del suo dominio se e solo se valgono simultaneamente tre condizioni:

1. $f(x_0)$ è definito (il punto appartiene al dominio);
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ esiste ed è finito;
3. $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$ (il limite coincide col valore).

Se anche solo una delle tre condizioni non è soddisfatta, $f$ ha un punto di discontinuità in $x_0$.

Le tre condizioni vanno lette in ordine: prima il punto deve esistere nel dominio, poi il limite deve esistere finito, infine i due valori — quello del limite e quello della funzione — devono coincidere. Basta che una sola salti perché la continuità si perda.

Storia — Dalla penna che non si stacca al linguaggio degli $\varepsilon$ e $\delta$

L’immagine intuitiva del grafico tracciato «senza staccare la penna» accompagnò l’analisi per due secoli, ma non era una definizione. Nel 1817 il boemo Bernhard Bolzano propose per la prima volta un criterio puramente aritmetico della continuità, svincolato da ogni idea di movimento o di figura (Boyer). Pochi anni dopo Augustin-Louis Cauchy, nel Cours d’analyse del 1821, formalizzò la continuità attraverso gli incrementi infinitesimi, e fu infine Karl Weierstrass a Berlino a fissare il linguaggio moderno degli $\varepsilon$ e $\delta$ che usiamo ancora oggi (Katz, Dunham).

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Discontinuita · Limite
Persone: Bernard Bolzano · Augustin-Louis Cauchy · Karl Weierstrass

The intuitive idea of a “continuous” function is that of a graph that can be drawn without ever lifting the pen from the paper. To make this idea precise, three conditions are needed, all linked to the behaviour of the function near a point.

Definition — Function continuous at a point

A function $f$ is continuous at a point $x_0$ of its domain if and only if simultaneously three conditions hold:

1. $f(x_0)$ is defined (the point belongs to the domain);
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ exists and is finite;
3. $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$ (the limit coincides with the value).

If even a single one of the three conditions is not satisfied, $f$ has a point of discontinuity at $x_0$.

The three conditions must be read in order: first the point must exist in the domain, then the limit must exist and be finite, finally the two values — that of the limit and that of the function — must coincide. It is enough for a single one to fail for continuity to be lost.

History — From the pen that never lifts to the language of $\varepsilon$ and $\delta$

The intuitive image of a graph drawn “without lifting the pen” accompanied analysis for two centuries, but it was not a definition. In 1817 the Bohemian Bernhard Bolzano proposed for the first time a purely arithmetic criterion of continuity, freed from any idea of motion or figure (Boyer). A few years later Augustin-Louis Cauchy, in the Cours d’analyse of 1821, formalised continuity through infinitesimal increments, and it was finally Karl Weierstrass in Berlin who fixed the modern language of $\varepsilon$ and $\delta$ that we still use today (Katz, Dunham).

Links

Topics: Continuita
Concepts: Continuita · Discontinuita · Limite

Prima di cercare i punti di discontinuità conviene sapere dove non possono trovarsi: nella grande maggioranza dei casi le funzioni che incontriamo sono continue ovunque siano definite.

Osservazione — Le funzioni "normali" sono continue

Le funzioni elementari — polinomi, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, radici, potenze — sono tutte continue dove sono definite. Le operazioni (somma, prodotto, quoziente con denominatore $\ne 0$, composizione) conservano la continuità. Perciò ogni funzione ottenuta combinando funzioni elementari è continua nel suo dominio naturale. I punti di discontinuità possono presentarsi solo:

• dove la funzione cambia formula (funzioni a tratti);
• ai bordi del dominio (dove “manca” il punto).

In pratica, quando si studia una funzione, si vanno a controllare solo questi due tipi di punti “sospetti”: i punti di giunzione delle funzioni definite a tratti e i punti in cui il dominio si interrompe. Ovunque altrove la continuità è garantita.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti · Funzioni elementari

Before looking for the points of discontinuity, it is worth knowing where they cannot be found: in the great majority of cases the functions we meet are continuous everywhere they are defined.

Remark — "Normal" functions are continuous

The elementary functions — polynomials, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, roots, powers — are all continuous where they are defined. The operations (sum, product, quotient with denominator $\ne 0$, composition) preserve continuity. Therefore every function obtained by combining elementary functions is continuous on its natural domain. Points of discontinuity can occur only:

• where the function changes formula (piecewise functions);
• at the edges of the domain (where the point is “missing”).

In practice, when studying a function, one only checks these two types of “suspect” points: the junction points of piecewise-defined functions and the points where the domain breaks off. Everywhere else continuity is guaranteed.

Links

Topics: Continuita
Concepts: Continuita · Funzione definita a tratti · Funzioni elementari