Limite e discontinuità di x/|x|

Testo

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}$ e classificare il tipo di discontinuità di $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ in $x=0$.

Soluzione

Esplicitiamo il valore assoluto: $\frac{x}{|x|} = \begin{cases} \dfrac{x}{x}=1 & x>0 \\[4pt] \dfrac{x}{-x}=-1 & x<0 \end{cases}$ I limiti laterali sono dunque $\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1.$ Essendo diversi, il limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}$ $\boxed{\text{non esiste}}$.

Poiché i due limiti laterali sono finiti ma diversi, in $x=0$ si ha una discontinuità di prima specie (salto), di ampiezza $|1-(-1)|=2$. (È la funzione “segno”, $\operatorname{sgn}(x)$.)

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita prima specie · Limite destro e sinistro · Valore assoluto
Competenze: Calcolare limiti · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo limite