Limiti e asintoti di una funzione omografica

Testo

Considera la funzione $f(x) = \frac{1-2x}{x-3}.$

• (a) Trova $\displaystyle\lim_{x\to 3^-} f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$.
• (b) Indica le equazioni dell’asintoto verticale e dell’asintoto orizzontale.

Soluzione

(a) Per $x\to 3^-$: il numeratore tende a $1-6=-5$, il denominatore $x-3\to 0^-$. Quindi $\lim_{x\to 3^-}\frac{1-2x}{x-3} = \frac{-5}{0^-} = +\infty.$ Per $x\to+\infty$ contano i termini di grado massimo: $\dfrac{-2x}{x}\to -2$, dunque $\lim_{x\to+\infty} f(x) = -2.$

(b) Il denominatore si annulla in $x=3$ (dove la funzione diverge): asintoto verticale $x=3$. Il limite finito $-2$ all’infinito dà l’asintoto orizzontale $y=-2$. $\boxed{\lim_{x\to 3^-}f=+\infty;\quad \lim_{x\to+\infty}f=-2;\quad \text{as. vert. } x=3;\quad \text{as. oriz. } y=-2}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Limite destro e sinistro
Funzioni: Funzione omografica
Competenze: Calcolare limiti
Tipo di esercizio: Calcolo limite