Achille e la tartaruga

Il più celebre dei paradossi di Zenone contrappone Achille (velocissimo) e la tartaruga (lentissima). Se la tartaruga parte con un vantaggio, sostiene Zenone, Achille non potrà mai raggiungerla: ogni volta che Achille arriva dove era la tartaruga, lei è già avanzata un po’.

Storia — Achille e la tartaruga

Nel V secolo a.C. il filosofo greco Zenone di Elea formulò quattro paradossi che mettevano in crisi l’idea di movimento (Boyer). Nel più celebre, Achille non raggiungerebbe mai la tartaruga perché a ogni “ricongiungimento” resta sempre un piccolo vantaggio da colmare.

Mettiamo dei numeri: Achille corre a $10$ m/s, la tartaruga a $1$ m/s, con vantaggio iniziale di $100$ m. I tempi dei successivi “ricongiungimenti” sono

$t_1 = 10\,\text{s}\ (\text{Achille percorre }100\,\text{m},\ \text{la tartaruga }10\,\text{m}), \quad t_2 = 1\,\text{s}\ (10\to 11), \quad t_3 = 0{,}1\,\text{s},\ \ldots$

La somma di tutti questi tempi è una serie geometrica di ragione $1/10$:

$10 + 1 + 0{,}1 + 0{,}01 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} 10^{1-k} = \frac{10}{1-1/10} = \frac{100}{9}\,\text{s} \approx 11{,}11\,\text{s}.$

Una somma di infiniti termini ha valore finito: questa è la risposta del limite. Achille raggiunge la tartaruga al tempo $100/9$ s, alla posizione $1000/9$ m.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Limite · Serie geometrica
Competenze: Modellizzare
Persone: Zenone