Rette sghembe distanza e piano parallelo

Testo

Date $r_1:\ (x,y,z)=(1+t,\,3,\,2-t)$ e $r_2:\ (x,y,z)=(2+2s,\,-1+s,\,4)$.

(a) Dimostra che $r_1$ e $r_2$ sono sghembe.

(b) Calcola la distanza tra le due rette.

(c) Determina il piano per l’origine parallelo a entrambe.

Soluzione

(a) I vettori direttori sono $\vec u=(1,0,-1)$ e $\vec v=(2,1,0)$, non paralleli, quindi $\vec u\times\vec v=(1,-2,1)$. Presi $P_1=(1,3,2)$ su $r_1$ e $P_2=(2,-1,4)$ su $r_2$, si ha $\overrightarrow{P_1P_2}=(1,-4,2)$; il prodotto misto vale $1+8+2=11\neq0$, quindi le due rette non sono complanari: sono sghembe.

(b) $d=\dfrac{|11|}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{11}{\sqrt6}\approx4{,}491$.

(c) Il piano per l’origine con normale $(1,-2,1)$ (parallelo a entrambe le rette, poiché $\vec u\times\vec v$ è normale sia a $\vec u$ che a $\vec v$) è $x-2y+z=0$. $\boxed{\text{sghembe};\ d=\dfrac{11}{\sqrt6}\approx4{,}491;\ \text{piano } x-2y+z=0}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza tra rette · Piano · Retta · Rette sghembe
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico