Retta per due punti e scomposizione di un vettore

Testo

Sia $s$ la retta per $A(1,0,-1)$ e $B(4,-1,1)$.

(a) Scrivi le equazioni parametriche di $s$.

(b) Calcola la distanza di $Q(4,2,1)$ da $s$.

(c) Determina la componente parallela e la componente perpendicolare di $\overrightarrow{AQ}$ rispetto a $\overrightarrow{AB}$.

Soluzione

Il vettore direttore è $\overrightarrow{AB}=(3,-1,2)$.

(a) $s:\ x=1+3t,\ y=-t,\ z=-1+2t$.

(b)-(c) Si ha $\overrightarrow{AQ}=(3,2,2)$. La proiezione scalare di $\overrightarrow{AQ}$ su $\overrightarrow{AB}$ è $\dfrac{\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}=\dfrac{11}{14}$, quindi la componente parallela è $\dfrac{11}{14}(3,-1,2)\approx(2{,}357;-0{,}786;1{,}571)$ e la componente perpendicolare è $\overrightarrow{AQ}-\text{parallela}\approx(0{,}643;2{,}786;0{,}429)$. La distanza cercata è il modulo della componente perpendicolare: $d(Q,s)=|\text{perp}|\approx2{,}891$. $\boxed{d(Q,s)\approx2{,}891;\ \text{parallela}\approx(2{,}357;-0{,}786;1{,}571);\ \text{perp}\approx(0{,}643;2{,}786;0{,}429)}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza punto retta · Proiezione vettoriale · Retta · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico