Distanza tra due rette sghembe

Proprietà — Distanza tra due rette sghembe

Date $r_1:\vec S=\vec A+\vec v_1 t$ e $r_2:\vec S=\vec B+\vec v_2 s$ sghembe: $\boxed{\,d(r_1,r_2) = \dfrac{|\vec{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)|}{|\vec v_1\times\vec v_2|}\,}$

Dimostrazione — Interpretazione col parallelepipedo

I tre vettori $\vec{AB},\vec v_1,\vec v_2$ individuano un parallelepipedo. Il suo volume vale $|\vec{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)|$ (prodotto misto) e l’area di base $|\vec v_1\times\vec v_2|$. L’altezza è dunque volume diviso area di base, cioè la distanza tra i due piani paralleli che contengono le due rette — ossia la distanza tra le rette stesse. ∎

Attenzione — Errore comune: confondere con la distanza punto–piano

Il metodo alternativo “parametrizzare un punto su una retta e calcolare la distanza punto–piano” funziona solo per la distanza retta–piano parallelo, non per due rette sghembe generiche. La formula col prodotto misto è quella corretta e universale.

Esempio

Siano $r_1:(1;-1;4)+t(2;3;-1)$ e $r_2:(5;-4;-2)+s(-4;7;3)$. Allora $\vec{AB}=(4;-3;-6)$ e $\vec v_1\times\vec v_2 = \bigl(3\cdot 3-(-1)\cdot 7,\; (-1)(-4)-2\cdot 3,\; 2\cdot 7-3\cdot(-4)\bigr) = (16;\; -2;\; 26).$ Quindi $|\vec v_1\times\vec v_2| = \sqrt{256+4+676}=\sqrt{936}\approx 30{,}6$ e $\vec{AB}\cdot(\vec v_1\times\vec v_2) = 64+6-156=-86$, da cui $d = \frac{86}{30{,}6}\approx 2{,}81.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza rette sghembe · Prodotto misto · Prodotto vettoriale · Retta · Rette sghembe
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica · Usare formule