Proprietà di modulo e logaritmo complesso

Testo

Dimostra le seguenti proprietà: a) $\ln(z)+\ln(\bar z)$ ha parte immaginaria nulla, mentre $\ln(z)-\ln(\bar z)$ ha parte reale nulla. b) $|zw|=|z|\,|w|$. c) $|z^{2}|=|z|^{2}$.

Soluzione

a) Poiché $|\bar z|=|z|$ e $\arg\bar z=-\arg z$: $\ln z=\ln|z|+i\arg z$, $\ln\bar z=\ln|z|-i\arg z$. Quindi $\ln z+\ln\bar z=2\ln|z|$ (reale, parte immaginaria nulla) e $\ln z-\ln\bar z=2i\arg z$ (immaginario puro, parte reale nulla). b) In forma esponenziale $z=r\,e^{i\theta}$, $w=s\,e^{i\varphi}$, quindi $zw=rs\,e^{i(\theta+\varphi)}$ e $|zw|=rs=|z|\,|w|$. c) Caso particolare con $w=z$: $|z^{2}|=|z|\,|z|=|z|^{2}$. $\boxed{\,\ln z+\ln\bar z=2\ln|z|\in\mathbb{R},\qquad |zw|=|z||w|\,}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Forma esponenziale · Logaritmo complesso · Modulo
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico