Luoghi con il logaritmo e l'esponenziale complessi

Testo

a) Per quali $z$ la funzione $\ln(z)$ è immaginaria pura? Disegna la curva soluzione di $\operatorname{Im}\big(\ln z\big)=\dfrac{\pi}{6}$. b) Per quali $z$ la funzione $e^{z}$ è reale positiva, reale negativa, immaginaria, oppure ha parte reale uguale alla parte immaginaria? c) In che cosa si trasforma la circonferenza $|z|=1$ sotto la funzione $\ln(z)$?

Soluzione

Scriviamo $\ln z=\ln|z|+i\arg z$ e $e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$ con $z=x+iy$. a) $\ln z$ è immaginario puro $\Leftrightarrow \operatorname{Re}(\ln z)=\ln|z|=0\Leftrightarrow |z|=1$: la circonferenza unitaria. Inoltre $\operatorname{Im}(\ln z)=\arg z=\dfrac{\pi}{6}$ è la semiretta uscente dall’origine con inclinazione $\dfrac{\pi}{6}$. b) $e^{z}$ reale positivo $\Leftrightarrow y=2k\pi$; reale negativo $\Leftrightarrow y=\pi+2k\pi$; immaginario $\Leftrightarrow y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; parte reale $=$ parte immaginaria $\Leftrightarrow \cos y=\sin y\Leftrightarrow y=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$. c) Su $|z|=1$ si ha $\ln z=\ln 1+i\arg z=i\arg z$ con $\arg z\in(-\pi,\pi]$: la circonferenza si trasforma nel segmento dell’asse immaginario da $-i\pi$ a $i\pi$. $\boxed{\,a)\ |z|=1\ \text{e semiretta}\ \arg z=\tfrac{\pi}{6}\,;\quad c)\ \text{segmento}\ [-i\pi,\,i\pi]\,}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Esponenziale complesso · Forma esponenziale · Logaritmo complesso · Luogo geometrico
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico