Espressione complessa con potenze in forma esponenziale

Testo

Calcola in forma algebrica $(1-i)^{5}+\frac{1}{(1+\sqrt3\,i)^{3}}$ utilizzando la forma esponenziale per calcolare le potenze.

Soluzione

Si scrive $1-i$ in forma esponenziale: $|1-i|=\sqrt2$ e $\arg(1-i)=-\dfrac\pi4$, quindi $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$. Elevando alla quinta potenza, $(1-i)^5=(\sqrt2)^5e^{-i5\pi/4}=4\sqrt2\,e^{-i5\pi/4}=4\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2 i\right)=-4+4i.$

Analogamente $1+\sqrt3\,i=2e^{i\pi/3}$, da cui $(1+\sqrt3\,i)^3=8e^{i\pi}=-8$ e quindi $\frac1{(1+\sqrt3\,i)^3}=-\frac18.$

Sommando i due risultati: $(1-i)^5+\frac1{(1+\sqrt3\,i)^3}=-4+4i-\frac18=-\frac{33}8+4i.$

$\boxed{-\frac{33}{8}+4i}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: De moivre · Forma esponenziale
Metodi: De moivre · Numeri complessi polare
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni