Forma esponenziale e potenze di numeri complessi

Testo

Siano $z=1+\sqrt3\,i$ e $w=-1+i$.

(a) Scrivi $z$ e $w$ in forma esponenziale (modulo e argomento) e disegnane i vettori.

(b) Calcola $z^{4}$ in forma algebrica.

(c) Calcola $1/w^{6}$ in forma algebrica.

Soluzione

(a) Il modulo di $z$ è $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$ e, poiché il punto $(1,\sqrt3)$ sta nel primo quadrante, $\arg z=\dfrac\pi3$, quindi $z=2e^{i\pi/3}$. Per $w$ si ha $|w|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$ e, essendo $(-1,1)$ nel secondo quadrante, $\arg w=\dfrac{3\pi}4$, dunque $w=\sqrt2\,e^{i3\pi/4}$. I due vettori corrispondenti hanno lunghezza $2$ e $\sqrt2$ e formano con il semiasse reale positivo angoli rispettivamente di $60°$ e $135°$.

(b) Usando la forma esponenziale, $z^4=2^4e^{i4\pi/3}=16e^{i4\pi/3}=16\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}2 i\right)=-8-8\sqrt3\,i.$

(c) Si ha $w^6=(\sqrt2)^6e^{i6\cdot3\pi/4}=8e^{i9\pi/2}$. Poiché $9\pi/2$ e $\pi/2$ differiscono di un multiplo di $2\pi$ (infatti $9\pi/2-4\pi=\pi/2$), risulta $w^6=8e^{i\pi/2}=8i$. Quindi $\dfrac1{w^6}=\dfrac1{8i}=-\dfrac i8.$

$\boxed{z=2e^{i\pi/3},\quad w=\sqrt2\,e^{i3\pi/4},\quad z^4=-8-8\sqrt3\,i,\quad \frac1{w^6}=-\frac i8}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Argomento · De moivre · Forma esponenziale · Modulo
Metodi: De moivre · Numeri complessi polare
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni