Serie geometrica complessa

Testo

La serie geometrica soddisfa $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}z^{k}=\frac{1-z^{n}}{1-z}$. a) Mostra che se $z=e^{i\pi/6}$ e $n=12$ la somma vale zero. c) Quanto vale la somma (stesso $n$) se $z=e^{i\pi/5}$? Scrivi il risultato in forma algebrica.

Soluzione

a) $z^{12}=e^{i\,12\pi/6}=e^{i\,2\pi}=1$, quindi il numeratore $1-z^{12}=0$ e la somma è $0$ (i $12$ addendi sono le $12$ radici dodicesime dell’unità, la cui somma è nulla). c) $z^{12}=e^{i\,12\pi/5}=e^{i\,2\pi/5}$, dunque $S=\frac{1-e^{i\,2\pi/5}}{1-e^{i\,\pi/5}}=\frac{0{,}691-0{,}951i}{0{,}191-0{,}588i}\approx1{,}809+0{,}588\,i.$ $\boxed{\,S_a=0,\qquad S_c\approx1{,}809+0{,}588\,i\,}$

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma esponenziale · Formula di eulero · Radici dell unita · Serie geometrica
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni