Operazioni in forma cartesiana

In forma cartesiana somma, prodotto e quoziente si calcolano trattando $i$ come una lettera e ricordando la regola fondamentale $i^2=-1$.

Proprietà — Operazioni in forma cartesiana

Dati $z_1=a_1+ib_1$ e $z_2=a_2+ib_2$: $\begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2) \\ z_1 \cdot z_2 &= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{z_1\cdot\bar{z_2}}{z_2\cdot\bar{z_2}} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + i(a_2 b_1 - a_1 b_2)}{a_2^2 + b_2^2} \end{aligned}$ dove $\bar{z} = a - ib$ è il coniugato di $z$, ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria.

Il prodotto si ottiene applicando la proprietà distributiva e sostituendo $i^2=-1$: $(a_1+ib_1)(a_2+ib_2) = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i a_2 b_1 + i^2 b_1 b_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1).$

La divisione si effettua “razionalizzando” il denominatore, cioè moltiplicando numeratore e denominatore per $\bar{z_2}$: il denominatore diventa reale, $z_2\cdot\bar{z_2} = a_2^2 + b_2^2 \in\mathbb{R}$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Coniugato · Forma cartesiana · Piano cartesiano
Metodi: Numeri complessi cartesiana
Competenze: Calcolare · Usare formule