Tampone Covid, falsi positivi e Bayes

Testo

Un tampone viene provato su $333$ persone sane, ottenendo $85$ positivi, e su $490$ persone ammalate, ottenendo $29$ negativi. L’incidenza della malattia è $P(A)=0{,}01$. a) Determina $P(n\mid A)$, $P(p\mid S)$ e da esse $P(p\mid A)$, $P(n\mid S)$. b) Determina le probabilità dei casi elementari $Ap,An,Sp,Sn$ e le probabilità totali $P(p)$ e $P(n)$. c) Carlo è positivo: qual è la sua probabilità di essere sano? Giorgia è negativa: qual è la sua probabilità di essere ammalata?

Soluzione

a) $P(p\mid S)=\dfrac{85}{333}\approx0{,}2553$, $P(n\mid A)=\dfrac{29}{490}\approx0{,}0592$, quindi $P(p\mid A)=0{,}9408$, $P(n\mid S)=0{,}7447$. b) Con $P(A)=0{,}01$, $P(S)=0{,}99$: $P(Ap)=0{,}009408,\ P(An)=0{,}000592,\ P(Sp)=0{,}25275,\ P(Sn)=0{,}73725;$ $P(p)=P(Ap)+P(Sp)\approx0{,}2622,\qquad P(n)=P(An)+P(Sn)\approx0{,}7378.$ c) $P(S\mid p)=\dfrac{P(Sp)}{P(p)}=\dfrac{0{,}25275}{0{,}2622}\approx0{,}9641$; $\;P(A\mid n)=\dfrac{P(An)}{P(n)}=\dfrac{0{,}000592}{0{,}7378}\approx0{,}00080$. $\boxed{\,P(S\mid p)\approx0{,}964,\qquad P(A\mid n)\approx0{,}0008\,}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Falsi positivi · Probabilita condizionata · Probabilita totale · Teorema di bayes
Metodi: Tabella contingenza
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita