Esempio — Pari o dispari

Un gioco a somma zero senza equilibrio in strategie pure: l’unica scelta stabile è randomizzare in parti uguali. È il modello base dell’equilibrio in strategie miste.

Esempio — Gioco a somma zero: pari o dispari

Due giocatori mostrano simultaneamente $1$ o $2$ dita. G1 vince $1$ EUR se la somma è pari; G2 vince $1$ EUR se è dispari. Matrice di payoff (per G1):

G1 / G2	1	2
1	$+1$	$-1$
2	$-1$	$+1$

(I payoff di G2 sono gli opposti: gioco a somma zero.)

Strategie pure: nessuna dominante; nessun equilibrio in strategie pure (se G1 fissa una scelta, G2 ne deduce la propria mossa vincente).

Strategie miste: G1 gioca “1” con prob $p$, G2 con prob $q$. Vincita attesa di G1: $\bar V_1(p,q) = pq - p(1-q) - (1-p)q + (1-p)(1-q) = (2p-1)(2q-1).$ G2 sceglie $q$ per minimizzare $\bar V_1$; se $p\neq 1/2$, G2 sceglie $q$ ai limiti per spingere $\bar V_1$ negativo. La sola scelta robusta per G1 è $p=1/2$ (G1 indifferente all’avversario). Per simmetria $q=1/2$.

Equilibrio di Nash in strategie miste: entrambi giocano $1/2$-$1/2$. Vincita attesa di ciascuno: $\bar V = 0$ (gioco equo).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
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Metodi: Equilibrio nash · Gioco somma zero · Strategia mista
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