Le sei conversioni

Scelta una rappresentazione iniziale, le altre due si ricavano con calcoli elementari. Riassumiamo le sei trasformazioni possibili tra tabella, Venn e albero.

In sintesi — Sei passaggi tra le rappresentazioni

Indichiamo con $n$ il totale (se lavoriamo in numeri assoluti) oppure $1$ (se lavoriamo in probabilità). Le quattro probabilità congiunte si chiamano $p_{ij}=P(A_i\cap B_j)$ con $i,j\in\{1,2\}$.

• Tabella $\to$ Venn: copia le quattro caselle congiunte nelle quattro zone del Venn. Il totale sullo sfondo è $\Omega=1$.
• Tabella $\to$ Albero: per ciascuna riga della tabella, calcola le frequenze condizionate. Ad esempio, il ramo $A_1\to B_1$ ha peso $P(B_1\mid A_1)=p_{11}/(p_{11}+p_{12})$ (cella su totale di riga). Primo livello: marginali $P(A_i)=$ totale riga $/\,n$.
• Venn $\to$ Tabella: trascrivi le zone nelle celle; le marginali sono le somme di riga e di colonna.
• Venn $\to$ Albero: per ogni zona, calcola $P(B\mid A)=|A\cap B|/|A|$ (zona intersezione su zona dell’evento condizionante).
• Albero $\to$ Tabella: ricostruisci le congiunte come prodotto sui rami $p_{ij}=P(A_i)\cdot P(B_j\mid A_i)$, poi marginalizza sommando righe e colonne.
• Albero $\to$ Venn: stessa cosa, ma scrivi i prodotti dei rami direttamente nelle quattro zone.

A queste sei va aggiunta la settima conversione, già vista studiando l’inversione dell’albero: albero $\to$ albero invertito. Cambia il primo livello di condizionamento — da $\{A_i\}$ a $\{B_j\}$ — ed è il teorema di Bayes letto come operazione geometrica.

Osservazione — Quale rappresentazione scegliere?

La tabella è la più compatta: usala quando hai poco spazio o devi fare conti rapidi. Il Venn è il più visivo: usalo quando ti serve un’intuizione immediata della sovrapposizione. L’albero è il più sequenziale: usalo quando il problema è formulato come esperimento a stadi (“estrai una pallina, poi un’altra”) o quando ti danno direttamente le condizionate $P(B\mid A_i)$ e le marginali $P(A_i)$.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Diagramma di venn · Passaggio rappresentazioni · Tabella di contingenza
Metodi: Passaggio rappresentazioni
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare