Esempio — Esame di guida

Esempio — Esame di guida

La probabilità di passare l’esame di guida è del $30\%$ per chi ha fatto almeno $10$ guide, e del $10\%$ per chi ne ha fatte meno di $10$. Tra quelli che hanno passato il test, coloro che hanno fatto almeno $10$ guide sono il $50\%$. Qual è la percentuale di persone che fa poche guide?

Definiamo $A$ = “passare l’esame”, $B$ = “aver fatto almeno $10$ guide”. Dati:

$P(A\mid B) = 0,3, \quad P(A\mid \overline{B}) = 0,1, \quad P(B\mid A) = 0,5.$

Richiesta: $P(\overline{B}) = 1-P(B)$.

Dalla legge della probabilità composta, $P(A\cap B)$ si può scrivere in due modi:

$P(A\cap B) = P(B)\cdot P(A\mid B) = 0,3\,P(B),$

$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) = 0,5\,P(A).$

Uguagliando: $0,3\,P(B) = 0,5\,P(A)$, cioè $P(A) = 0,6\,P(B)$.

D’altra parte, usando la decomposizione di $P(A)$ sui due casi (guide $\ge 10$ e guide $<10$):

$P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap\overline{B}) = 0,3\,P(B) + 0,1\,(1-P(B)) = 0,2\,P(B) + 0,1.$

Combinando con $P(A) = 0,6\,P(B)$:

$0,6\,P(B) = 0,2\,P(B) + 0,1 \implies 0,4\,P(B) = 0,1 \implies P(B) = \boxed{0,25}.$

Dunque il $25\%$ delle persone fa almeno $10$ guide, e il $\boxed{75\%}$ ne fa meno di $10$.

Controllo via tabella: $P(A) = 0,6\cdot 0,25 = 0,15$ (cioè il $15\%$ passa l’esame, un valore intermedio tra $30\%$ e $10\%$, ragionevole). La tabella di contingenza si riempie come:

	$A$ (passato)	$\overline{A}$ (bocciato)	Totale
$B$ ($\ge 10$ guide)	$0,075$	$0,175$	$0,25$
$\overline{B}$ ($<10$ guide)	$0,075$	$0,675$	$0,75$
Totale	$0,15$	$0,85$	$1$

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