Diagramma di Venn, temperatura e pioggia

Testo

Nel diagramma di Venn l’evento $A$ è «domani la temperatura supera i $30$ gradi», l’evento $B$ è «domani piove». Le regioni valgono: solo $A=x$, solo $B=0{,}2$, intersezione $A\cap B=0{,}3$, esterno $=t$.

• (a) Sai che la probabilità che domani piova sapendo che ci sono più di $30$ gradi vale $\tfrac12$. Determina $x$ e $t$, e dimostra che $x=0{,}3$.
• (b) Trova la probabilità che domani non piova.
• (c) Trova la probabilità che domani non piova sapendo che ci sono meno di $30$ gradi.
• (d) Stabilisci se i due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

(Nel compito originale il valore del punto (a) è scritto $3/8$: è un refuso — con $3/8$ si otterrebbe $x=0{,}5$ e $t=0$, incompatibile con un diagramma proprio. Il valore che dà $x=0{,}3$, come richiesto dal testo stesso, è $P(B\mid A)=\tfrac12$.)

Soluzione

(a) $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}3}{x+0{,}3}=\dfrac12\Rightarrow x+0{,}3=0{,}6\Rightarrow x=0{,}3$. Somma a $1$: $0{,}3+0{,}2+0{,}3+t=1\Rightarrow t=0{,}2$.

(b) $P(\neg B)=P(B$-solo$)+P(\text{esterno})=x+t=0{,}3+0{,}2=0{,}5$.

(c) $\neg A$ (meno di $30$ gradi) ha probabilità $0{,}2+0{,}2=0{,}4$; $\neg A\cap\neg B$ è l’esterno $=0{,}2$: $P(\neg B\mid\neg A)=\frac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5.$

(d) $P(A)=0{,}3+0{,}3=0{,}6$, $P(B)=0{,}2+0{,}3=0{,}5$, quindi $P(A)\,P(B)=0{,}30=P(A\cap B)$: gli eventi sono indipendenti (infatti $P(B\mid A)=P(B)=0{,}5$, coerente con il punto (c)).

$\boxed{x=0{,}3,\ t=0{,}2;\ P(\neg B)=0{,}5;\ P(\neg B\mid\neg A)=0{,}5;\ \text{indipendenti}}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma di venn · Eventi indipendenti · Probabilita condizionata
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita