Test del DNA per la parentela: precisione, sensibilità, specificità

Testo

Un test del DNA per stabilire se due persone sono imparentate dà risultato positivo i $\dfrac67$ delle volte in cui le due persone sono effettivamente parenti, mentre dà risultato negativo i $\dfrac56$ delle volte in cui non lo sono. Inoltre, se due persone sono risultate positive, hanno i $\dfrac{12}{13}$ di probabilità di essere parenti.

• (a) Scrivi i dati come probabilità condizionate per gli eventi $A=$ ”positivo” e $B=$ ”parenti”.
• (b) Disegna un diagramma di Venn con le probabilità, impostando un sistema di equazioni per ricavarle.
• (c) Quanto valgono precisione, sensibilità e specificità del test, in percentuale?

Soluzione

(a) $\;P(A\mid B)=\dfrac67$ (sensibilità), $\;P(\bar A\mid\bar B)=\dfrac56$ (specificità), $\;P(B\mid A)=\dfrac{12}{13}$ (precisione). (b) Pongo $P(B)=b$. Allora $P(A\cap B)=\tfrac67 b,\quad P(\bar A\cap B)=\tfrac17 b,\quad P(A\cap\bar B)=\tfrac16(1-b),\quad P(\bar A\cap\bar B)=\tfrac56(1-b).$ La precisione $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{12}{13}$ dà l’equazione $\frac{\tfrac67 b}{\tfrac67 b+\tfrac16(1-b)}=\frac{12}{13}\ \Longrightarrow\ \frac{6}{7}b=2(1-b)\ \Longrightarrow\ \frac{20}{7}b=2\ \Longrightarrow\ b=0{,}7.$ Le quattro probabilità del Venn sono allora $P(A\cap B)=0{,}6,\quad P(\bar A\cap B)=0{,}1,\quad P(A\cap\bar B)=0{,}05,\quad P(\bar A\cap\bar B)=0{,}25$ (somma $=1$ ✓; $P(A)=0{,}65$ e $P(B\mid A)=0{,}6/0{,}65=12/13$ ✓). (c) $\text{sensibilità}=P(A\mid B)=\frac67\approx85{,}7\%,\quad \text{specificità}=P(\bar A\mid\bar B)=\frac56\approx83{,}3\%,\quad \text{precisione}=P(B\mid A)=\frac{12}{13}\approx92{,}3\%.$ $\boxed{\text{precisione}\approx92{,}3\%,\ \text{sensibilità}\approx85{,}7\%,\ \text{specificità}\approx83{,}3\%\ \ (P(B)=0{,}7).}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma di venn · Precisione · Probabilita condizionata · Sensibilita · Specificita
Metodi: Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita