Probabilità condizionata con diagramma di Venn (alligatore)

Testo

Nel diagramma di Venn l’evento $A$ è «domani piove», l’evento $B$ è «un alligatore attraversa la piazza». Le probabilità delle regioni sono: solo $A$ $=0{,}4$, solo $B$ $=0{,}2$, intersezione $A\cap B=y$, esterno $=t$.

• (a) A Carpi $P(B\mid A)=20\%$. Determina $y$ e $t$.
• (b) A Johannesburg invece $y=0{,}3$ e $t=0{,}1$: calcola $P(B\mid A)$ e $P(B\mid \neg A)$; stabilisci se gli eventi sono correlati positivamente, negativamente o indipendenti.
• (c) (Johannesburg) Calcola la probabilità che domani non piova oppure un alligatore non attraversi la piazza.
• (d) (Johannesburg) Calcola la probabilità che domani non piova sapendo che un alligatore non attraversa la piazza.

Soluzione

(a) $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{y}{0{,}4+y}=0{,}2\Rightarrow y=0{,}08+0{,}2y\Rightarrow 0{,}8y=0{,}08\Rightarrow y=0{,}1$. Poiché tutto somma a $1$: $0{,}4+0{,}2+0{,}1+t=1\Rightarrow t=0{,}3$.

(b) Con $y=0{,}3,\ t=0{,}1$: $P(A)=0{,}4+0{,}3=0{,}7$, $P(B)=0{,}2+0{,}3=0{,}5$. $P(B\mid A)=\frac{0{,}3}{0{,}7}=\frac37\approx 0{,}429,\qquad P(B\mid\neg A)=\frac{0{,}2}{0{,}2+0{,}1}=\frac{0{,}2}{0{,}3}=\frac23\approx 0{,}667.$ Poiché $P(B\mid A)=0{,}429<P(B)=0{,}5$ (equivalentemente $P(A\cap B)=0{,}3<P(A)P(B)=0{,}35$), gli eventi sono correlati negativamente.

(c) Per De Morgan $\neg A\cup\neg B=\neg(A\cap B)$, quindi $P(\neg A\cup\neg B)=1-P(A\cap B)=1-0{,}3=0{,}7$.

(d) $\neg B$ ha probabilità $0{,}4+0{,}1=0{,}5$; $\neg A\cap\neg B$ è l’esterno $=0{,}1$: $P(\neg A\mid\neg B)=\frac{0{,}1}{0{,}5}=0{,}2.$

$\boxed{y=0{,}1,\ t=0{,}3;\ P(B\mid A)=\tfrac37,\ P(B\mid\neg A)=\tfrac23\ (\text{corr. neg.});\ P(\neg A\cup\neg B)=0{,}7;\ P(\neg A\mid\neg B)=0{,}2}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma di venn · Eventi indipendenti · Probabilita condizionata · Unione di eventi
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita