Diagramma di Venn, probabilità condizionate e correlazione

Testo

Considera il diagramma di Venn per due eventi $A$ e $B$: la zona di solo $A$ vale $0{,}4$, quella di solo $B$ vale $0{,}2$, l’intersezione vale $y$ e l’esterno vale $t$.

• (a) Sapendo che $P(A\cap B)=3\,P(\bar A\cap\bar B)$, completa il diagramma.
• (b) Calcola $P(A\mid B)$ e $P(B\mid A)$.
• (c) Calcola la correlazione tra i due eventi e $P(A\cup B)$.
• (d) Quanto varrebbero $t$, $y$ e la correlazione per avere eventi incompatibili? E per eventi indipendenti?

Soluzione

(a) Le quattro zone sommano a $1$: $0{,}4+0{,}2+y+t=1\Rightarrow y+t=0{,}4$. Con $y=P(A\cap B)=3\,t$: $3t+t=0{,}4\Rightarrow t=0{,}1,\quad y=0{,}3.$ Dunque $P(A)=0{,}4+0{,}3=0{,}7$, $P(B)=0{,}2+0{,}3=0{,}5$. (b) $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6$; $\;P(B\mid A)=\dfrac{0{,}3}{0{,}7}\approx0{,}43$. (c) Correlazione (coefficiente per variabili indicatrici): $\rho=\frac{P(A\cap B)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)\bigl(1-P(A)\bigr)P(B)\bigl(1-P(B)\bigr)}}=\frac{0{,}3-0{,}35}{\sqrt{0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}5\cdot0{,}5}}=\frac{-0{,}05}{0{,}229}\approx-0{,}22.$ $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}2+0{,}3=0{,}9$. (d) Incompatibili: $A\cap B=\varnothing\Rightarrow y=0$, quindi $t=1-0{,}4-0{,}2=0{,}4$; la correlazione è negativa, $\rho=\dfrac{0-0{,}4\cdot0{,}2}{\sqrt{0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}2\cdot0{,}8}}\approx-0{,}41$. Indipendenti: servirebbe $\rho=0$, cioè $y=P(A)P(B)=(0{,}4+y)(0{,}2+y)$; questa equazione $y^2-0{,}4y+0{,}08=0$ ha discriminante negativo, quindi con quelle due zone laterali l’indipendenza non è realizzabile. $\boxed{y=0{,}3,\ t=0{,}1,\ P(A\mid B)=0{,}6,\ P(A\cup B)=0{,}9,\ \rho\approx-0{,}22.}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Correlazione · Diagramma di venn · Probabilita condizionata · Unione
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita