Diagramma di Venn, probabilità condizionata e correlazione

Testo

Considera il diagramma di Venn per due eventi $A$ e $B$: la zona di solo $A$ vale $0{,}4$, l’intersezione $A\cap B$ vale $0{,}1$, la zona di solo $B$ vale $0{,}2$, e la zona esterna a entrambi vale $t$ (incognita). (figura nel compito originale: due ellissi sovrapposte dentro un rettangolo)

• (a) calcola $t=P(\bar A\cap\bar B)$ e inseriscila nel disegno;
• (b) calcola $P(A|B)$;
• (c) calcola $P(B|A)$;
• (d) calcola $P(B|\bar A)$;
• (e) calcola $P(A\cup B)$;
• (f) determina la correlazione tra i due eventi.

Soluzione

Le quattro zone hanno somma $1$, quindi $t=1-(0{,}4+0{,}1+0{,}2)=\boxed{0{,}3}$. Inoltre $P(A)=0{,}4+0{,}1=0{,}5$ e $P(B)=0{,}1+0{,}2=0{,}3$.

(b) $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}3}=\dfrac13\approx0{,}33$. (c) $P(B|A)=\dfrac{0{,}1}{0{,}5}=0{,}2$. (d) $P(\bar A)=0{,}5$ e $P(B\cap\bar A)=0{,}2$, quindi $P(B|\bar A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$. (e) $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}1+0{,}2=0{,}7$. (f) Si confronta $P(A\cap B)$ con $P(A)\,P(B)=0{,}5\cdot0{,}3=0{,}15$. Poiché $0{,}1<0{,}15$, gli eventi sono correlati negativamente (discordi): il verificarsi di uno rende meno probabile l’altro. $\boxed{\ t=0{,}3;\ \ P(A|B)=\tfrac13;\ \ P(B|A)=0{,}2;\ \ P(B|\bar A)=0{,}4;\ \ P(A\cup B)=0{,}7;\ \text{correlazione negativa}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Correlazione · Diagramma di venn · Probabilita condizionata
Metodi: Diagramma venn prob
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita