Test per una malattia rara e formula di Bayes

Testo

Una malattia colpisce lo $0{,}5\%$ della popolazione. Un test ha sensibilità $0{,}98$ e specificità $0{,}95$.

(a) Costruisci l’albero e calcola la probabilità che una persona a caso risulti positiva.

(b) Calcola la probabilità che una persona positiva sia effettivamente malata.

(c) Disegna un diagramma di Venn.

Soluzione

Dati: $P(M)=0{,}005$, $P(\overline M)=0{,}995$, $P(+\mid M)=0{,}98$ (sensibilità), $P(+\mid\overline M)=1-0{,}95=0{,}05$ (complemento della specificità).

(a) Con l’albero (prima malattia, poi esito del test) e la formula della probabilità totale: $P(+) = P(M)\cdot P(+\mid M) + P(\overline M)\cdot P(+\mid\overline M) = 0{,}005\cdot0{,}98 + 0{,}995\cdot0{,}05 = 0{,}0049 + 0{,}04975 = 0{,}05465$

(b) Per il teorema di Bayes: $P(M\mid+) = \frac{P(+\mid M)\cdot P(M)}{P(+)} = \frac{0{,}0049}{0{,}05465} \approx 0{,}0897$ Solo circa il $9\%$ delle persone positive è realmente malato: a causa della bassa prevalenza della malattia, anche un test molto accurato produce un gran numero di falsi positivi rispetto ai veri positivi.

(c) Il diagramma di Venn mostra il cerchio piccolo $M$ ($0{,}005$) e il cerchio $+$ ($0{,}05465$), con l’intersezione $M\cap +$ ($0{,}0049$) molto piccola rispetto a $+\setminus M$ ($0{,}04975$).

$\boxed{P(+)\approx0{,}0547;\ P(M\mid+)\approx0{,}0897}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Diagramma di venn · Probabilita totale · Sensibilita · Specificita · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Diagramma albero · Prob totale
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita