Sensibilità specificità e precisione di un test diagnostico

Testo

Su $1000$ pazienti si esegue un test per rilevare l’uranio nel sangue. I risultati sono nella tabella.

Risultato test	U presente	U assente	Totale
Positivo	48	92	140
Negativo	12	848	860
Totale	60	940	1000

(a) Disegna un diagramma di Venn con le probabilità.

(b) Costruisci il diagramma ad albero considerando prima il risultato del test e poi la presenza dell’uranio.

(c) Costruisci il diagramma ad albero nell’ordine inverso: prima la presenza dell’uranio, poi il risultato del test.

(d) Calcola la sensibilità $P(\text{pos}\mid U)$, la specificità $P(\text{neg}\mid\overline U)$ e la precisione $P(U\mid\text{pos})$.

Soluzione

Dalle frequenze relative della tabella si ottengono le probabilità congiunte, ad esempio $P(U\cap\text{pos})=\dfrac{48}{1000}=0{,}048$, $P(U\cap\text{neg})=\dfrac{12}{1000}=0{,}012$, $P(\overline U\cap\text{pos})=\dfrac{92}{1000}=0{,}092$, $P(\overline U\cap\text{neg})=\dfrac{848}{1000}=0{,}848$: con queste si costruiscono sia il diagramma di Venn (parti a) sia i due diagrammi ad albero, che condizionano rispettivamente sul risultato del test (b) e sulla presenza dell’uranio (c), usando le probabilità marginali $P(U)=0{,}06$, $P(\overline U)=0{,}94$, $P(\text{pos})=0{,}14$, $P(\text{neg})=0{,}86$ e le relative condizionate.

(d) La sensibilità è la probabilità di risultare positivi tra i malati: $P(\text{pos}\mid U) = \frac{48}{60} = 0{,}80$ La specificità è la probabilità di risultare negativi tra i sani: $P(\text{neg}\mid\overline U) = \frac{848}{940} \approx 0{,}902$ La precisione è la probabilità di essere effettivamente malati tra i positivi: $P(U\mid\text{pos}) = \frac{48}{140} \approx 0{,}343$

$\boxed{\text{sensibilità}=0{,}80;\ \text{specificità}\approx0{,}902;\ \text{precisione}\approx0{,}343}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Diagramma di venn · Precisione · Probabilita condizionata · Sensibilita · Specificita · Tabella di contingenza
Metodi: Diagramma albero · Prob condizionata · Tabella contingenza
Competenze: Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita