Paradossi famosi

Tre paradossi classici — in apparenza folli, in realtà perfettamente coerenti con la probabilità condizionata che abbiamo appena visto. Servono a costruire l’istinto giusto: in probabilità la risposta naturale è quasi sempre sbagliata, e la formula di Bayes è l’unico arbitro affidabile. Il paradosso di Monty Hall mostra come l’informazione del conduttore sposti le probabilità; quello dei due figli come la formulazione precisa cambi la risposta; quello di Bertrand come “a caso” sia una nozione vuota senza una distribuzione.

• Paradosso di Monty Hall
• Paradosso dei due figli
• Paradosso di Bertrand

Three classic paradoxes — seemingly mad, in reality perfectly consistent with the conditional probability we have just seen. They serve to build the right instinct: in probability the natural answer is almost always wrong, and Bayes’ formula is the only reliable arbiter. The Monty Hall paradox shows how the host’s information shifts the probabilities; the two-children one how the precise wording changes the answer; the Bertrand one how “at random” is an empty notion without a distribution.

• Monty Hall paradox
• Two-children paradox
• Bertrand’s paradox

Sei a un game show: tre porte chiuse. Dietro una c’è un’auto, dietro le altre due una capra. Scegli la porta $1$. Il conduttore, che sa cosa c’è dietro ogni porta, apre la porta $3$ e mostra una capra. Ti chiede: “vuoi tenere la $1$ o cambiare per la $2$?”.

L’intuizione dice: due porte chiuse, scelta $50$–$50$, non importa cambiare. Sbagliato. Cambiare raddoppia la probabilità di vincere ($2/3$ contro $1/3$).

Proprietà — Spiegazione via Bayes

Sia $A_i =$ “l’auto è dietro la porta $i$”, $B =$ “il conduttore apre la $3$”. Per simmetria $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$. Conoscendo le scelte del conduttore:

• $P(B\mid A_1) = 1/2$ (auto dietro $1$: il conduttore apre $2$ o $3$ a caso, $50\%$);
• $P(B\mid A_2) = 1$ (auto dietro $2$: il conduttore deve aprire la $3$, non può aprire la $2$);
• $P(B\mid A_3) = 0$ (non aprirebbe la porta dell’auto).

Probabilità totale: $P(B) = \tfrac13\cdot\tfrac12 + \tfrac13\cdot 1 + \tfrac13\cdot 0 = 1/2$. Applichiamo Bayes: $P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{(1/2)(1/3)}{1/2} = \frac{1}{3}, \qquad P(A_2\mid B) = \frac{1\cdot(1/3)}{1/2} = \frac{2}{3}.$

Osservazione — Perché l'intuizione sbaglia

Il conduttore non sceglie a caso: ha informazione che noi non abbiamo. La sua scelta condizionale “trasferisce” la probabilità $1/3$ della porta scartata sulla porta $2$, che diventa $2/3$. La porta $1$ resta ferma a $1/3$ perché la nostra scelta iniziale è fissata prima che il conduttore agisca, quindi non riceve aggiornamento. È lo stesso meccanismo dei test diagnostici: non basta contare le porte chiuse, bisogna sapere come si è arrivati allo stato attuale. La narrativa classica del paradosso (con il dibattito popolare scatenato dalla risposta di Marilyn vos Savant negli anni ‘90) è raccontata da Dunham (Cap. 11).

Esempio — Simulazione con $99$ porte

Versione amplificata: $100$ porte, $1$ auto, $99$ capre. Scegli la $1$; il conduttore apre $98$ porte mostrando $98$ capre, lasciandoti scegliere tra la $1$ e una porta-misteriosa. La stessa logica dice: $P(\text{vincita se cambi}) = 99/100$. Esplicitato in questa forma, il paradosso sparisce.

Video consigliati

• Monty Hall Problem — Numberphile

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso di monty hall · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Metodi: Bayes · Prob condizionata
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi

You are on a game show: three closed doors. Behind one there is a car, behind the other two a goat. You choose door $1$. The host, who knows what is behind each door, opens door $3$ and shows a goat. He asks you: “do you want to keep door $1$ or switch to door $2$?”.

Intuition says: two closed doors, a $50$–$50$ choice, it does not matter whether you switch. Wrong. Switching doubles the probability of winning ($2/3$ against $1/3$).

Property — Explanation via Bayes

Let $A_i =$ “the car is behind door $i$”, $B =$ “the host opens door $3$”. By symmetry $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$. Knowing the host’s choices:

• $P(B\mid A_1) = 1/2$ (car behind $1$: the host opens $2$ or $3$ at random, $50\%$);
• $P(B\mid A_2) = 1$ (car behind $2$: the host must open door $3$, he cannot open door $2$);
• $P(B\mid A_3) = 0$ (he would not open the car’s door).

Total probability: $P(B) = \tfrac13\cdot\tfrac12 + \tfrac13\cdot 1 + \tfrac13\cdot 0 = 1/2$. We apply Bayes: $P(A_1\mid B) = \frac{P(B\mid A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{(1/2)(1/3)}{1/2} = \frac{1}{3}, \qquad P(A_2\mid B) = \frac{1\cdot(1/3)}{1/2} = \frac{2}{3}.$

Observation — Why intuition is wrong

The host does not choose at random: he has information that we do not have. His conditional choice “transfers” the probability $1/3$ of the discarded door onto door $2$, which becomes $2/3$. Door $1$ stays fixed at $1/3$ because our initial choice is set before the host acts, so it receives no update. It is the same mechanism as diagnostic tests: it is not enough to count the closed doors, one must know how the current state was reached. The classic narrative of the paradox (with the popular debate sparked by Marilyn vos Savant’s answer in the 1990s) is told by Dunham (Ch. 11).

Example — Simulation with $99$ doors

Amplified version: $100$ doors, $1$ car, $99$ goats. You choose door $1$; the host opens $98$ doors showing $98$ goats, leaving you to choose between door $1$ and a mystery door. The same logic says: $P(\text{win if you switch}) = 99/100$. Made explicit in this form, the paradox disappears.

Recommended videos

• Monty Hall Problem — Numberphile

Links

Topics: Probabilita
Concepts: Paradosso di monty hall · Probabilita condizionata · Teorema di bayes
Methods: Bayes · Prob condizionata
Skills: Calcolo probabilita · Ragionare per casi

Esempio — Versione standard

Una famiglia ha due figli. Sai che almeno uno è un maschio. Qual è la probabilità che siano entrambi maschi?

Tentazione: $1/2$ (l’altro figlio è $50$–$50$). Sbagliato. La risposta corretta è $1/3$.

Proprietà — Lettura via spazio campione

Spazio campione (assumendo equiprobabilità $1/4$ per ogni coppia): $\{MM, MF, FM, FF\}$. L’informazione “almeno uno è maschio” esclude $FF$, lasciando tre casi equiprobabili: $\{MM, MF, FM\}$. La condizione “entrambi maschi” si realizza solo in $MM$. Dunque $P(MM \mid \text{almeno uno M}) = \frac{P(MM)}{P(\text{almeno uno M})} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}.$

Attenzione — Trappola del condizionamento

Cambia formulazione, cambia risposta. Se invece l’enunciato fosse “il primogenito è un maschio”, allora “entrambi maschi” significa solo che il secondo è maschio: $P=1/2$. L’informazione “almeno uno” è meno specifica di “il primo”, e questa differenza si traduce nella probabilità condizionata.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso dei due figli · Probabilita condizionata · Spazio campione
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi

Example — Standard version

A family has two children. You know that at least one is a boy. What is the probability that both are boys?

Temptation: $1/2$ (the other child is $50$–$50$). Wrong. The correct answer is $1/3$.

Property — Reading via the sample space

Sample space (assuming equiprobability $1/4$ for each pair): $\{MM, MF, FM, FF\}$. The information “at least one is a boy” excludes $FF$, leaving three equiprobable cases: $\{MM, MF, FM\}$. The condition “both boys” is realised only in $MM$. Hence $P(MM \mid \text{at least one M}) = \frac{P(MM)}{P(\text{at least one M})} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}.$

Warning — The conditioning trap

Change the wording, change the answer. If instead the statement were “the firstborn is a boy”, then “both boys” only means that the second is a boy: $P=1/2$. The information “at least one” is less specific than “the first”, and this difference translates into the conditional probability.

Links

Topics: Probabilita
Concepts: Paradosso dei due figli · Probabilita condizionata · Spazio campione
Skills: Calcolo probabilita · Ragionare per casi

Esempio — Enunciato

Scegli a caso una corda di una circonferenza di raggio $1$. Qual è la probabilità che sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto (lunghezza $\sqrt 3$)?

Tre risposte ugualmente legittime, a seconda di come si interpreta “a caso”:

1. Estremi a caso sulla circonferenza: fissato un estremo $A$, l’altro estremo $B$ ha angolo uniforme in $[0,2\pi)$. La corda supera $\sqrt 3$ se $B$ cade nell’arco opposto di lunghezza $2\pi/3$. Quindi $P=1/3$.
2. Punto medio uniforme nel cerchio: la corda è definita dal suo punto medio $M$. La corda è $>\sqrt 3$ se $M$ è nel cerchietto centrale di raggio $1/2$. Area $\pi(1/2)^2$ su area $\pi\cdot 1^2$: $P=1/4$.
3. Distanza dal centro uniforme in $[0,1]$: la corda è individuata dalla sua distanza $d$ dal centro. Si ha $|\text{corda}|=2\sqrt{1-d^2}>\sqrt 3\iff d<1/2$. Probabilità $1/2$.

Osservazione — Morale del paradosso

“A caso” non è una nozione neutra: senza specificare la distribuzione che genera l’evento, la domanda non ha una risposta unica. È lo stesso problema dei sondaggi visto nell’Appendice di statistica descrittiva: chi non specifica il metodo di campionamento ha già perso metà della battaglia statistica. Da qui la regola di Esty: in matematica “a caso” è quasi sempre un’omissione, mai un’informazione.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Distribuzione di probabilita · Paradosso di bertrand · Probabilita geometrica
Competenze: Calcolo probabilita · Ragionare per casi

Example — Statement

Choose a chord of a circle of radius $1$ at random. What is the probability that it is longer than the side of the inscribed equilateral triangle (length $\sqrt 3$)?

Three equally legitimate answers, depending on how one interprets “at random”:

1. Endpoints at random on the circle: fixing one endpoint $A$, the other endpoint $B$ has a uniform angle in $[0,2\pi)$. The chord exceeds $\sqrt 3$ if $B$ falls in the opposite arc of length $2\pi/3$. Hence $P=1/3$.
2. Midpoint uniform in the disc: the chord is defined by its midpoint $M$. The chord is $>\sqrt 3$ if $M$ lies in the central disc of radius $1/2$. Area $\pi(1/2)^2$ over area $\pi\cdot 1^2$: $P=1/4$.
3. Distance from the centre uniform in $[0,1]$: the chord is identified by its distance $d$ from the centre. We have $|\text{corda}|=2\sqrt{1-d^2}>\sqrt 3\iff d<1/2$. Probability $1/2$.

Observation — The moral of the paradox

“At random” is not a neutral notion: without specifying the distribution that generates the event, the question has no unique answer. It is the same problem as the surveys seen in the Appendix on descriptive statistics: whoever fails to specify the sampling method has already lost half the statistical battle. Hence Esty’s rule: in mathematics “at random” is almost always an omission, never a piece of information.

Links

Topics: Probabilita
Concepts: Distribuzione di probabilita · Paradosso di bertrand · Probabilita geometrica
Skills: Calcolo probabilita · Ragionare per casi