Distribuzione binomiale

Quando ripetiamo $n$ volte, in modo indipendente, uno stesso esperimento con due soli esiti (“successo” con probabilità $p$, “insuccesso” con probabilità $1-p$), siamo di fronte allo schema di Bernoulli. La probabilità di ottenere esattamente $k$ successi è data dalla formula della distribuzione binomiale. Questa sezione introduce lo schema, dimostra la formula e la applica a due esempi (moneta truccata, tiratore al bersaglio).

• Schema di Bernoulli
• Formula della distribuzione binomiale
• Esempio — Moneta truccata
• Esempio — Bersaglio

When we repeat, $n$ times and independently, the same experiment with only two outcomes (“success” with probability $p$, “failure” with probability $1-p$), we are faced with the Bernoulli scheme. The probability of getting exactly $k$ successes is given by the formula of the binomial distribution. This section introduces the scheme, proves the formula and applies it to two examples (biased coin, shooter at a target).

• Bernoulli scheme
• Formula of the binomial distribution
• Example — Biased coin
• Example — Target

Definizione — Schema di Bernoulli

Si chiamano prove ripetute (o schema di Bernoulli) $n$ esperimenti indipendenti, ciascuno con due soli esiti (“successo” con probabilità $p$, “insuccesso” con probabilità $1-p$). Si vuole calcolare la probabilità che il successo si verifichi esattamente $k$ volte.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Eventi indipendenti · Prove ripetute · Schema di bernoulli
Metodi: Binomiale
Competenze: Calcolo probabilita
Persone: Jacob Bernoulli

Definition — Bernoulli scheme

We call repeated trials (or Bernoulli scheme) $n$ independent experiments, each with only two outcomes (“success” with probability $p$, “failure” with probability $1-p$). We want to compute the probability that success occurs exactly $k$ times.

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Topics: Probability
Concepts: Independent events · Repeated trials · Bernoulli scheme
Methods: Binomial
Skills: Probability calculation
People: Jacob Bernoulli

Teorema — Formula della distribuzione binomiale

Nelle ipotesi dello schema di Bernoulli, la probabilità di $k$ successi su $n$ prove è: $P_n(k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,\ldots,n.$

Dimostrazione

Una specifica sequenza di $n$ prove con $k$ successi e $n-k$ insuccessi (per esempio $SSI\ldots SIS$) ha probabilità $p^k(1-p)^{n-k}$: gli esiti sono indipendenti, quindi le probabilità si moltiplicano. Le sequenze diverse che hanno esattamente $k$ successi e $n-k$ insuccessi sono $\binom{n}{k}$: scegliere le $k$ posizioni in cui sta il successo equivale a scegliere un sottoinsieme di $k$ elementi tra $n$. Poiché questi esiti sono incompatibili, le loro probabilità si sommano; essendo tutte uguali, il totale è $\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Combinazioni semplici · Distribuzione binomiale · Schema di bernoulli
Metodi: Binomiale
Competenze: Calcolo probabilita · Dimostrare · Usare formule

Theorem — Formula of the binomial distribution

Under the hypotheses of the Bernoulli scheme, the probability of $k$ successes in $n$ trials is: $P_n(k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,\ldots,n.$

Proof

A specific sequence of $n$ trials with $k$ successes and $n-k$ failures (for example $SSI\ldots SIS$) has probability $p^k(1-p)^{n-k}$: the outcomes are independent, so the probabilities multiply. The distinct sequences that have exactly $k$ successes and $n-k$ failures number $\binom{n}{k}$: choosing the $k$ positions where the success sits is equivalent to choosing a subset of $k$ elements out of $n$. Since these outcomes are mutually exclusive, their probabilities add up; being all equal, the total is $\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$. ∎

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Topics: Probability
Concepts: Simple combinations · Binomial distribution · Bernoulli scheme
Methods: Binomial
Skills: Probability calculation · Proving · Using formulae

Esempio — Moneta truccata, esattamente due teste

Una moneta truccata dà testa nei $\tfrac{1}{3}$ dei casi. Si lancia $5$ volte: qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ teste?

Applichiamo la formula binomiale con $n=5$, $k=2$, $p=1/3$:

$P_5(2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-2} = 10\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27} = \frac{80}{243} \approx 0,329.$

Attenzione

Se si chiede “le prime due sono testa e le restanti croce” la risposta è molto più piccola: solo $\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = 8/243$. La differenza è il fattore $\binom{5}{2}=10$: senza vincolo sull’ordine si moltiplicano i modi in cui le due teste possono distribuirsi tra le cinque posizioni.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Distribuzione binomiale
Metodi: Binomiale
Competenze: Calcolo probabilita

Example — Biased coin, exactly two heads

A biased coin comes up heads in $\tfrac{1}{3}$ of cases. It is tossed $5$ times: what is the probability of getting exactly $2$ heads?

We apply the binomial formula with $n=5$, $k=2$, $p=1/3$:

$P_5(2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-2} = 10\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27} = \frac{80}{243} \approx 0,329.$

Careful

If we ask “the first two are heads and the rest tails” the answer is much smaller: only $\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = 8/243$. The difference is the factor $\binom{5}{2}=10$: without a constraint on the order, one multiplies by the number of ways the two heads can be distributed among the five positions.

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Topics: Probability
Concepts: Binomial distribution
Methods: Binomial
Skills: Probability calculation

Esempio — Bersaglio

Un tiratore colpisce il bersaglio con probabilità $p=0,8$. Spara $10$ volte. Qual è la probabilità di colpirlo almeno $8$ volte?

È la somma di tre probabilità binomiali:

$P(k\ge 8) = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10).$

$P_{10}(10) = (0,8)^{10} \approx 0,107, \qquad P_{10}(9) = 10\cdot (0,8)^9\cdot 0,2 \approx 0,268,$

$P_{10}(8) = \binom{10}{8}(0,8)^8(0,2)^2 = 45\cdot 0,168\cdot 0,04 \approx 0,302.$

Totale: $P(k\ge 8) \approx 0,677$.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Distribuzione binomiale · Evento complementare
Metodi: Binomiale · Complementare prob
Competenze: Calcolo probabilita

Example — Target

A shooter hits the target with probability $p=0,8$. He fires $10$ times. What is the probability of hitting it at least $8$ times?

It is the sum of three binomial probabilities:

$P(k\ge 8) = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10).$

$P_{10}(10) = (0,8)^{10} \approx 0,107, \qquad P_{10}(9) = 10\cdot (0,8)^9\cdot 0,2 \approx 0,268,$

$P_{10}(8) = \binom{10}{8}(0,8)^8(0,2)^2 = 45\cdot 0,168\cdot 0,04 \approx 0,302.$

Total: $P(k\ge 8) \approx 0,677$.

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