Esempio guidato — Trial farmaco

Esempio — Trial farmaco: dai conteggi alle tre rappresentazioni

Un trial medico riporta: $35$ pazienti hanno preso il farmaco ($A$), di cui $10$ hanno avuto mal di testa ($B$); $22$ pazienti non l’hanno preso ($\overline{A}$), di cui $15$ hanno avuto mal di testa.

Step 1 — Conteggi $\to$ Tabella. I dati sono già in forma tabellare:

	$A$ (farmaco)	$\overline{A}$ (no farmaco)	Tot
$B$ (mal di testa)	$10$	$15$	$25$
$\overline{B}$ (sano)	$25$	$7$	$32$
Tot	$35$	$22$	$57$

Marginali in probabilità: $P(A)=35/57\approx 0,614$, $P(\overline{A})=22/57\approx 0,386$, $P(B)=25/57\approx 0,439$.

Step 2 — Tabella $\to$ Venn. Le quattro congiunte sono le frazioni delle celle sul totale:

$P(A\cap B)=\tfrac{10}{57},\quad P(A\cap\overline{B})=\tfrac{25}{57},\quad P(\overline{A}\cap B)=\tfrac{15}{57},\quad P(\overline{A}\cap\overline{B})=\tfrac{7}{57}.$

Il diagramma di Venn con i conteggi assoluti: nell’intersezione i $10$ pazienti con farmaco e mal di testa, fuori dagli ovali i $7$ senza farmaco e sani.

Step 3 — Tabella $\to$ Albero. Calcoliamo le condizionate per riga di $A$:

$P(B\mid A)=\tfrac{10}{35}=\tfrac{2}{7}\approx 0,286,\qquad P(B\mid\overline{A})=\tfrac{15}{22}\approx 0,682.$

Quindi tra chi prende il farmaco solo il $28\%$ ha mal di testa, tra chi non lo prende il $68\%$: il farmaco è protettivo (correlazione negativa fra $A$ e $B$).

L’albero condizionato su $A$: sui rami le condizionate, sulle foglie in rosso i prodotti (le congiunte).

Verifica della probabilità totale (somma sui percorsi): $P(B) = \tfrac{35}{57}\cdot\tfrac{2}{7} + \tfrac{22}{57}\cdot\tfrac{15}{22} = \tfrac{10}{57}+\tfrac{15}{57}=\tfrac{25}{57}$ ✓, in accordo con la marginale della tabella.

Settima conversione: albero $\to$ albero invertito. Vogliamo l’albero condizionato su $B$ ($B\to A$ invece di $A\to B$). Procediamo con i tre passi visti per l’inversione dell’albero:

$\text{congiunte già calcolate: }\tfrac{10}{57},\ \tfrac{25}{57},\ \tfrac{15}{57},\ \tfrac{7}{57};$

$\text{marginali: }P(B)=\tfrac{25}{57},\ P(\overline{B})=\tfrac{32}{57};$

$P(A\mid B)=\frac{10/57}{25/57}=\tfrac{10}{25}=\tfrac{2}{5},\qquad P(A\mid\overline{B})=\frac{25/57}{32/57}=\tfrac{25}{32}.$

L’albero invertito ha primo livello $B,\overline{B}$ con pesi $25/57$ e $32/57$, secondo livello $A,\overline{A}$ con $2/5$ e $25/32$ (e i complementari).

Lettura. Dato che il paziente ha avuto mal di testa, la probabilità che avesse preso il farmaco è $P(A\mid B)=2/5=40\%$: la maggioranza di chi ha mal di testa non ha preso il farmaco (correlazione negativa, come atteso).

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Diagramma albero · Diagramma di venn · Inversione albero · Passaggio rappresentazioni · Tabella di contingenza
Metodi: Diagramma albero · Passaggio rappresentazioni · Prob condizionata · Tabella contingenza
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