Ettagramma, angolo alla punta e lunghezza del tratto

Testo

Una stella a $7$ punte (ettagramma $\{7/3\}$: ogni tratto congiunge un vertice al terzo successivo tra $7$ vertici equidistanti) è inscritta in una circonferenza di raggio $5$. a) Determina l’angolo in una delle punte della stella. b) Con il teorema della corda determina la lunghezza di un tratto di penna con cui è disegnata la stella.

(Figura omessa: i $7$ vertici sono equispaziati di $\tfrac{360^\circ}{7}$ sulla circonferenza.)

Soluzione

I $7$ vertici distano $\dfrac{360^\circ}{7}$ l’uno dall’altro. Ogni tratto è la corda che sottende un arco di $3\cdot\dfrac{360^\circ}{7}$. a) L’angolo alla punta è l’angolo del poligono stellato $\{7/3\}$: $\;\theta=\dfrac{(7-2\cdot 3)\cdot 180^\circ}{7}=\dfrac{180^\circ}{7}\approx25{,}71^\circ$. b) Per il teorema della corda la lunghezza del tratto è $L=2R\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)=10\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)\approx9{,}749$. $\boxed{\,\theta=\tfrac{180^\circ}{7}\approx25{,}71^\circ,\qquad L=10\sin\tfrac{3\pi}{7}\approx9{,}749\,}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Angolo al centro · Angolo inscritto · Poligono regolare · Teorema della corda
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico