Caso ambiguo e raggio del cerchio circoscritto

Testo

Di un triangolo $ABC$ si sa che $\overline{BC}=14$, $\beta=A\hat{B}C=12{,}37^\circ$, $\overline{AC}=7$. a) Determina gli elementi mancanti con i teoremi dei seni e del coseno, mostrando che l’angolo $\gamma=A\hat{C}B$ (e quindi il lato $\overline{AB}$) ha più di una soluzione. b) Scelta la soluzione con $\gamma=142{,}27^\circ$, determina il raggio del cerchio circoscritto con il teorema della corda.

Soluzione

a) Con il teorema dei seni ($a=\overline{BC}=14$ opposto ad $\alpha$, $b=\overline{AC}=7$ opposto a $\beta$): $\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}=\frac{14\sin 12{,}37^\circ}{7}=2\sin 12{,}37^\circ\approx0{,}4283\ \Rightarrow\ \alpha\approx25{,}36^\circ\ \lor\ \alpha\approx154{,}64^\circ.$ Prima soluzione: $\alpha=25{,}36^\circ\Rightarrow\gamma=180^\circ-\beta-\alpha=142{,}27^\circ$, e $c=\overline{AB}=\dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\approx20$. Seconda soluzione: $\alpha=154{,}64^\circ\Rightarrow\gamma\approx12{,}99^\circ$, $\overline{AB}\approx7{,}35$. Il problema ammette dunque due triangoli. b) Teorema della corda / dei seni: $2R=\dfrac{c}{\sin\gamma}=\dfrac{20}{\sin 142{,}27^\circ}\approx32{,}69$, quindi $R\approx16{,}34$. $\boxed{\,\gamma\approx142{,}27^\circ,\quad \overline{AB}\approx20,\quad R\approx16{,}34\,}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Caso ambiguo · Teorema dei seni · Teorema del coseno · Teorema della corda
Funzioni: Seno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Ragionare per casi · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico